Some content of this application is unavailable at the moment.
If this situation persist, please contact us atFeedback&Contact
1. (WO2013008075) ATOMS AND MOLECULES FOR CONSTRUCTIONS
Note: Text based on automatic Optical Character Recognition processes. Please use the PDF version for legal matters

ATOMES ET MOLECULES POUR CONSTRUCTIONS

Jusqu'à présent la modélisation des atomes est souvent représentée par des boules imbriquées les unes dans les autres et les molécules par des assemblages de boules liées entre elles par des tiges.

Je vous propose une construction réalisée au moyen de polyèdres identiques se prêtant à l'élaboration d'arborescences et pouvant schématiser ces atomes et molécules. Ces polyèdres sont liés entre eux par un système à aimants permanents, logés sur leurs faces internes.

A l'origine de cette innovation, se trouve une nouvelle famille de polyèdres.

S'agissant de nouveauté, il est permis et nécessaire de rêver :

- forme de ballons de jeu pour jeunes enfants plus adaptés car plus préhensiles

- l'architecture, la joaillerie, l'optique peuvent y trouver intérêt

- arborescences réalisées en 3D dont la particularité est d'avoir des

interconnections entre branches et ceci à plusieurs niveaux.

- en dehors des représentations moléculaires, les biologistes pourraient s'en servir pour imaginer des constructions cellulaires

- une ébauche de fractale se perçoit également.

DESCRIPTION

Dans cette nouvelle famille de polyèdres, chacun d'entre eux est composé d'un antiprisme droit ( APn ) formant le noyau, ceinturé par une couronne torique d'aspect tétraèdrique ( Tn ).

L'assemblage de ces deux pièces ,antiprisme et tore, forme le nouveau polyèdre auquel nous donnons le nom d'atome ( An ). L'indice ( n ) représente le nombre de côtés des polygones réguliers constituant les deux pôles des antiprismes droits à l'origine de ces polyèdres et détermine son numéro d'ordre.

La longueur des côtés des polygones polaires des antiprismes est prise pour unité, égale à 1.

La couronne, d'aspect torique, est formée de 6n triangles équilatéraux d'arêtes égales à 1 également.

Cette couronne possède, à sa périphérie extérieure 2n sommets ( 5 ), disposés en dents de scie (fig.14 ), symbolisant la ceinture équatoriale et divisant l'atome en deux hémisphères symétriques.

Chaque sommet de la couronne torique est associé à cinq triangles du tore construits à partir de la liaison aux trois sommets de l'un des 2n triangles de l'antiprisme et aux deux sommets contigus sur la couronne.

Cette façon de construire cet atome détermine, de façon unique :

la hauteur de l'antiprisme, les différents angles des faces entre elles et avec les pôles de l'antiprisme, le rayon du cylindre circonscrit à la couronne torique.

Dans cet atome, chacune des faces d'un hémisphère trouve ,sur l'autre hémisphère, une face qui lui est parallèle.

L'icosaèdre serait le seul polyèdre connu répondant à cette description car il peut être décomposé en un antiprisme d'ordre 3 ( AP3 ) et une couronne torique à six sommets ( T3 ). Nous avons ainsi une nouvelle description de l'icosaèdre, et c'est le premier polyèdre ( A3 ) de cette série, allant à l'infini.

En plus de l'atome ( A3 ), qui est l'icosaèdre, seul l'atome ( A4 ) est convexe.

Tous les suivants jusqu'à l'infini sont concaves.

Cette famille d'atomes répond à des critères communs :

le rayon équatorial, noté R , distance des points ( 5 ) à l'axe de symétrie, qui est aussi le rayon du cylindre circonscrit à la couronne torique, répond à l'équation du 4ème degré :

4 sin4g) R4 -4 sin3g) R3 +(4 cosg) - ?) sin2g ) R2 + 2 (l + cos(- ) sing) R - 3 cos2g) + 2 = 0

La hauteur h de l'antiprisme droit ( APn ) répond à l'équation :


Le produit de h , la hauteur de l'antiprisme , et H , hauteur de la couronne , est :

h -H= R- tan (^-)

2 - n

Un cas particulier se présente pour l'ordre 9 : les sommets de l'antiprisme nonaèdre et les sommets de ses branches étoilées formant la couronne torique sont sur le même plan,

on a alors : h=H.

L' angle entre le plan du polygone polaire et le plan de la branche étoilée (exemple fig.20) pour quelques cas remarquables :

ordre 3→- 41 °81 ordre 4→ - 34°55

ordre 5→- 25°17 ordre 6→ - 16°03

ordre 8→ - 3°66 ordre 9→ 0°

ordre 10→ + 2° 69 ordre 12→ + 6°33

ordre 25→ + 14°02 ordre infini→ + 19°47

11 est à remarquer : lorsque le nombre de côtés des polygones polaires de l'antiprisme tend vers l'infini la hauteur de l'antiprisme tend vers et la hauteur de la couronne

3 1

torique tend vers — soit un rapport de — . De plus, l'angle entre la branche étoilée et le

2 "

polygone polaire associé tend vers arccos(—— )^ 19 °47 ou 0,3398 radians.

Ces atomes ( An ) peuvent se regrouper entre eux avec des parties communes pour constituer des ensembles cohérents que nous appellerons molécules ( Mn ).

L'une des façons d' associer ces atomes identiques c'est d'en prendre l'un des hémisphères de chacun que nous appellerons demi-coque ( Cn ) ( fig.68 ).

Ces demi-coques sont évidées , leur rebord équatorial est en dents de scie , les angles entre les facettes restent identiques à ceux de l'atome initial.

Ces demi-coques ( Cn ) sont jointes entre elles par les sommets de leurs branches étoilées(5) et ceci trois par trois .

On réalise ainsi des polygones ( Vn ) à six faces ,concaves non coplanaires.

Cette surface concave hexagonale ( Vn ), d'arêtes valant l'unité, est divisée en six rayons ajustés à la longueur voulue pour aboutir à un centre commun ( 6 )et ceci nous donne des demi-coques ajustées pour constituer des molécules dont les surfaces extérieures sont pleines (sans trous).

Les molécules d'ordre ( 3-4-5 ) présentent de l'intérêt de par leur simplicité et leur adaptation pour des assemblages de construction .

Ainsi la molécule d'ordre 3 ( M3 , fig.68 ) se compose de quatre demi-coques ( C3) symbolisant quatre atomes. Elle présente l'aspect d'un triskèle ou tétrapode . Elle est composée de quarante faces, dont les seize faces équilatérales constituent les quatre polygones étoilés . Elle comporte quatre cavités concaves ( V3 ) à six faces non coplanaires et dont les six rayons intérieurs sont légèrement raccourcis pour aboutir à une cavité commune ( 6 ).

A l'aide de huit demi-coques ( fig.70-71 ) symbolisant huit atomes , on peut aussi réaliser une autre molécule ( M'3 ) d'aspect cubique . La jonction des demi-coques se fait pour alors quatre par quatre et les cavités ( V3' ) sont à huit faces non coplanaires.

Ici les rayons sont allongés pour aboutir à la cavité commune ( 6 ). La molécule ( M'3 ) se compose de quatre vingt faces dont trente deux sont équilatérales.

La molécule d'ordre 4 ( M4 , fig.74-76 ) résulte de l'assemblage quadratique de six demi-coques ( C4 ) symbolisant six atomes . Elle comporte soixante dix huit faces dont six carrés et les vingt quatre triangles équilatéraux des branches étoilées issues de ces carrés . Elle comporte également huit cavités pyramidales à six faces ( V4 ) de sommet ( 6 ).

La molécule d'ordre 5 ( M5 ) résulte de l'assemblage de douze demi-coques , symbolisant douze atomes, réunies entre elles de façon dodécaédrique (fig.32-33 ) Elle comporte cent quatre vingt douze faces dont douze pentagones et les soixante triangles équilatéraux des branches étoilées issues de ces pentagones .

Leurs axes de symétrie forment un angle de : arccos(-^=)

Elle est dotée de vingt cavités ( V 5 ) à six triangles dont les six rayons sont légèrement allongés pour aboutir au sommet commun (6 ).

Les douze pentagones réguliers de cette molécule peuvent être surmontés chacun d'une pyramide pentagonale (S5 ) et pour alors le polyèdre comporte deux cents quarante faces , soit quarante huit faces de plus .

Dans les différentes constructions de molécules ( Mn ), les pôles des demi-coques ou des atomes qui sont des polygones réguliers , peuvent être surmontés de pyramides ( Sn ). Ces pyramides peuvent être régulières pour les ordres ( 3, 4 et 5 ).

Ces différentes molécules ( Mn )d'ordre ( 3-4-5 ) peuvent être assemblées entre elles pour élaborer des montages du style arborescence , jeux de construction cellulaires .

A cette fin , les molécules doivent être adaptées pour pouvoir s'imbriquer les unes dans les autres et aboutir à des ensembles stables avec l'aide de moyens d'assemblage (genre aimants permanents ).

Ainsi pour les molécules ( M3 , M4 et M5 ) on aménage une cavité ( Yn ) occupant la place d'une demi coque ( fig.77 ). Celle-ci est ajustée pour recevoir et contenir une autre demi-coque ajustée appartenant à une autre molécule identique et fusionnant entre elles. On peut dire pour alors que deux molécules voisines ont un atome commun entre elles et que chacune des liaisons entre molécules se fait par le biais d'un atome commun.

La cohésion des molécules est assurée par le recours à des aimants permanents qui sont fixés sur les parois internes des faces appelées à être en contact deux par deux.

L'assemblage des molécules peut aussi se faire au niveau des cavités hexagonales ( Vn ) grâce à une rotation de 60° de l'une des molécules pour permettre l'accouplement. ( fig 72-73 ).Les molécules restent entières, seules les cavités en contact subissent une déformation .

La modification des longueurs et des pentes des six triangles de l'un au moins des polygones hexagonaux concaves ( Vn )est nécessaire pour rendre les molécules

complémentaires.

Ainsi (fig.68 ) les cavités ( V3 )sont normales, même pente que l'atome initial , tandis que sur la molécule complémentaire (fig.67 ) les cavités ( V'3 ) sont enfoncées. Les pentes de leurs faces sont différentes de même que les longueurs des rayons allant vers le sommet ( 6 )des cavités .

Cette adaptation, en longueur et en pente des faces des polygones hexagonaux, peut-être envisagée dans le domaine du vivant intelligent. Il faut disposer de molécules capables, de trouver leur place, et de s'accoupler les unes aux autres. Ces molécules deviennent ainsi complémentaires.

Leur cohésion se fait aussi par des systèmes d'attraction et de fixation du genre aimants permanents. Ces aimants sont fixés sur le côté interne des faces appelées à entrer en contact les unes avec les autres . Ils autorisent un assemblage d'une plus grande tolérance .

Au moyen de six molécules identiques ( M5 ) on peut réaliser une couronne d'aspect torique (fig.46-45 ). Chacune des molécules étant reliée à deux autres grâce à deux atomes solidaires. Cette couronne de six molécules se présente sur deux niveaux différents en alternance.

Sur une molécule ( M5 ), il est possible de greffer un maximum de trois autres

molécules identiques ( 5 , fig.47-48 )et ceci dans trois directions différentes à partir de quatre emplacements possibles sur la molécule centrale de départ .Cette dernière a ainsi trois atomes communs avec les trois autres molécules. A partir de ce principe, on peut réaliser une arborescence et remplir l'espace à l'infini et ceci d'une façon régulière.

Grâce à cette méthode de liaison, on arrive à réaliser des ensembles de vingt molécules (M5 , fig. 49-50-51 ) disposés de façon dodécaédrique et liés entre eux par des atomes communs ( A5 ) à chaque liaison. Huit molécules ont une triple liaison tandis que les douze autres ont une double liaison .

Cet assemblage de vingt molécules définit la macromolécule ( MM5 ) et constitue le niveau 1 dans la construction.

Dans ce module ( MM5 ) les vingt molécules ont un point de tangence à une sphère fictive interne et le module s'inscrit et est contenu dans un icosaèdre (fig.53 ).

Pour passer à l'étape supérieure dans la construction^ fig.55 ) on duplique douze fois le niveau 1 ( MM5 ) en les disposant sur les 12 sommets de l'icosaèdre associé au module de niveau 1.

A chacun des douze sommets de cet icosaèdre on effectue une liaison à un autre module ( MM5 ) par l'intermédiaire d'une liaison libre de la molécule qui autorise d'avoir un atome commun de liaison.

Ce groupement de douze macromolécules est constitué de deux cent soixante molécules, il s'inscrit dans un icosaèdre et constitue le niveau 2 de la construction (fig.55 et56 )

. A ce stade du montage,( fig.54 ) les douze branches des macromolécules ( MM5 ) du niveau 2 sont reliées entre elles par vingt molécules ( M5 ) ( X5 ), ceci en partageant un atome commun à chaque paire de branches . .Sur la figure ( 52 ), les vingt molécules de liaison ( X5 )se confondent avec leurs voisines .

Grâce à ces interconnections, les communications éventuelles entre les éléments continueront de se faire s'il y a une coupure dans une ou plusieurs branches de

l'arborescence. Ceci à l'image d'un tissu cellulaire.

Ce type de construction par ( MM5 ) présente la plus faible densité de matière par rapport aux deux suivantes issues des macromolécules ( MM4 et MM3 ).

Au moyen de quatre molécules identiques ( M4 ), on peut réaliser une couronne torique, chacune des molécules étant reliée aux deux autres contiguës grâce à deux atomes communs rendus solidaires à l'aide d' aimants permanents ou autre procédé de liaison. Cette couronne de quatre molécules se présente sur deux niveaux en alternance.

La macromolécule d'ordre 4 ( MM4 ) est constituée d'une molécule centrale sur laquelle viennent se greffer six autres molécules ( M4 ) en partageant à chaque liaison un atome commun ( fig.78-79 ).

Cette construction peut-être poursuivie indéfiniment et c'est ce montage qui comporte le moins d'espace vide entre les molécules, donc une densité importante de matière.

Les molécules permettent aussi des montages intéressants par des liaisons au niveau des surfaces des cavités hexagonales ( Vn ) comme cela a été décrit précédemment en passant par la rotation de 60° d'une molécule par rapport à sa voisine. Ici, chaque molécule reste entière, ne partageant pas d'atome avec les molécules de liaison.

Six molécules ( M3 ) permettent la réalisation d'une couronne d'aspect torique sur deux niveaux ( fig;73-73' ). Par cette même méthode de liaison, on peut venir chapeauter cette couronne par un ensemble de quatre molécules groupées à la façon d'un triskèle ou d'un tripode,et ceci des deux côtés de la couronne.

Ce nouvel assemblage constitue la macromolécule ( MM3 ) d'ordre trois composée de quatorze molécules ( 3 ).

Cette configuration peut, elle aussi, être poursuivie indéfiniment. Tous les espaces vides communiquent entre eux et peuvent faire office d'échangeur thermique.

A partir de ce dernier montage à base de ( MM3 ) toutes les formes de constructions sont permises.

Dans tous les modèles relevant de cette description, chacune des macromolécules ( MMn ) peut-être prise pour le point de départ de l'ensemble car les éléments de base et leurs dispositions sont homogènes.

Ces constructions à partir de macromolécules ( MMn ) sont propres à créer des milieux isotropes.

Nota :

Dans les pages 8, 9 et 10 se trouvent les coordonnées cartésiennes de la molécule M5 dotée des pyramides polaires.

Sommet 1 : {0,0,0.525731112119}

{0.850650808352,0,0}

{0.262865556060,0.809016994375,0}

{-0.688190960236,0.500000000000,0}

{-0.688190960236,-0.500000000000,0}

{0.262865556060,-0.809016994375,0}

{1.19085177735,0.865204460798,-0.368353826783} idl {-0.454864903386,1.39993022479,-0.368353826783} id2 {- 1.47197374794,0,-0.368353826783} id3

{-0.454864903386,-1.39993022479,-0.368353826783} id4 {1.19085177735,-0.865204460798,-0.368353826783} id5 Sommet 2 : {2.37038282197,1.72218392781 ,-1.28508023117} { 1.44707776081 , 1.66939752331 ,-0.904657624647}

{2.03486301311,0.860380528937,-0.904657624647} {2.56059412523,0.860380528937,-1.75530843300}

{2.29772856917, 1.66939752331 ,-2.28103954512 }

{ 1.60953760893,2.16939752331 ,- 1.75530843300}

{ 1.19085177735,0.865204460798,-0.368353826783 } id 1 {2.38170355471 ,0,- 1.27808363355}

{2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149}

{1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149}

{0.735986873968,2.26513468559,-1.27808363355}

Sommet 3 : {-0.905405671642,2.78655213008,-1.28508023117} {- 1.14051977256, 1.89212493908,-0.904657624647}

{-0.189463256264,2.20114193345,-0.904657624647 } {-0.0270034081477,2.70114193345,-1.75530843300} {-0.877654216500,2.70114193345,-2.28103954512}

{-1.56584517674,2.20114193345,-1.75530843300}

{-0.454864903386,1.39993022479,-0.368353826783} id2 {0.735986873968,2.26513468559,-1.27808363355}

{0,2.79986044958,-2.75005738149}

{- 1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149}

{- J .92683865132, 1.39993022479,-1.27808363355}

Sommet 4 : {-2.92995430065,0,-1.28508023117}

{-2.15195774510,-0.500000000000,-0.904657624647} {-2.15195774510,0.500000000000,-0.904657624647} {-2.57728314927,0.809016994375,-1.75530843300}

{-2.84014870533,0,-2.28103954512}

{-2.57728314927,-0.809016994375,-1.75530843300} {-1.47197374794,0,-0.368353826783} id3

{- 1.92683865132, 1.39993022479,- 1.27808363355 }

{-2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149}

{-2.66282552529,-0.865204460798,-2.75005738149} {-1.92683865132,-1.39993022479,-1.27808363355 }

Sommet 5 : {-0.905405671642,-2.78655213008,-1.28508023117} {-0.189463256264,-2.20114193345,-0.904657624647} {-1.14051977256,- 1.89212493908,-0.904657624647}

{-1.56584517674,-2.20114193345,-1.75530843300}

{-0.877654216500,-2.70114193345,-2.28103954512}

{-0.0270034081477,-2.70114193345,-1.75530843300} {-0.454864903386,-1.39993022479,-0.368353826783} id4 {- 1.92683865132,- 1.39993022479,- 1.27808363355 }

{- 1.64571668074,-2.26513468559,-2.75005738149 }

{0,-2.79986044958,-2.75005738149}

{0.735986873968,-2.26513468559,- 1.27808363355 }

Sommet 6 : {2.37038282197,-1.72218392781 ,-1.28508023117}

{2.03486301311,-0.860380528937,-0.904657624647}

{ 1.44707776081 ,- 1.66939752331 ,-0.904657624647}

{ 1.60953760893,-2.16939752331 ,- 1.75530843300}

{2.29772856 17,-1.66939752331 ,-2.28103954512 }

{2.56059412523,-0.860380528937,-1.75530843300}

{1.19085177735,-0.865204460798,-0.368353826783 } id5

{0.735986873968,-2.26513468559,-1.27808363355}

{ 1.64571668074,-2.26513468559,-2.75005738149}

{2.66282552529,-0.865204460798,-2.75005738149}

{2.38170355471,0,-1.27808363355}

Sommet 7 : {0,0,-6.02584587510}

{-0.850650808352,0,-5.50011476298}

{-0.262865556060,-0.809016994375,-5.50011476298} {0.688190960236,-0.500000000000,-5.50011476298 } {0.688190960236,0.500000000000,-5.50011476298 } {-0.262865556060,0.809016994375,-5.50011476298} {- 1.19085177735,-0.865204460798,-5.13176093620} {0.454864903386 -1.39993022479,-5.13176093620} { 1.47197374794,0,-5.13176093620}

{0.454864903386,1.39993022479,-5.13176093620}

{-1.19085177735,0.865204460798,-5.13176093620}

Sommet 8 : {-2.37038282197,-1.72218392781,-4.21503453181 }

{- 1.44707776081 ,- 1.66939752331 ,-4.59545713833}

{-2.03486301311 ,-0.860380528937,-4.59545713833}

{-2.56059412523,-0.860380528937,-3.74480632998}

{-2.29772856917,-1.66939752331 ,-3.21907521786}

{- 1.60953760893,-2.16939752331 ,-3.74480632998}

{-1.19085177735,-0.865204460798,-5.13176093620}

{-2.38170355471,0,-4.22203112943}

{-2.66282552529,-0.865204460798,-2.75005738149}

{-1.64571668074,-2.26513468559,-2.75005738149}

{-0.735986873968,-2.26513468559,-4.22203112943}

Sommet 9 : {0.905405671642,-2.78655213008,-4.21503453181 }

{1.14051977256,-1.89212493908,-4.59545713833}

{0.189463256264,-2.20114193345,-4.59545713833}

{0.0270034081477,-2.70114193345,-3.74480632998}

{0.877654216500,-2.70114193345,-3.21907521786}

{1.56584517674,-2.20114193345,-3.74480632998}

{0.454864903386,-1.39993022479,-5.13176093620}

{-0.735986873968,-2.26513468559,-4.22203112943}

{0,-2.79986044958,-2.75005738149}

{ 1.64571668074,-2.26513468559,-2.75005738149}

{ 1.92683865132,- 1.39993022479,-4.22203112943 }

Sommet 10 : {2.92995430065,0,-4.21503453181 }

{2.15195774510,0.500000000000,-4.59545713833 }

{2.15195774510,-0.500000000000,-4.59545713833 }

{2.57728314927,-0.809016994375,-3.74480632998}

{2.84014870533,0,-3.21907521786}

{2.57728314927,0.809016994375,-3.74480632998}

{ 1.47197374794,0,-5.13176093620}

{ 1.92683865132,- 1.39993022479,-4.22203112943 }

{2.66282552529,-0.865204460798,-2.75005738149}

{2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149}

{ 1.926838651 2, 1.39993022479,-4.22203112943 }

Sommet 1 1 : {0.905405671642,2.78655213008,-4.21503453181 }

{0.189463256264,2.20114193345,-4.59545713833}

{ 1.14051977256,1.89212493908,-4.59545713833}

{1.56584517674,2.20114193345,-3.74480632998}

{0.877654216500,2.70114193345,-3.21907521786}

{0.0270034081477,2.70114193345,-3.74480632998}

{0.454864903386, 1.39993022479,-5.13176093620}

{ 1.92683865132, 1.39993022479,-4.22203112943}

{ 1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149}

{0,2.79986044958,-2.75005738149}

{-0.735986873968,2.26513468559,-4.22203112943}

Sommet 12 : {-2.37038282197,1.72218392781,-4.21503453181 }

{-2.03486301311,0.860380528937,-4.59545713833 }

{-1.44707776081 , 1.66939752331 ,-4.59545713833}

{-1.60953760893,2.16939752331,-3.74480632998}

{-2.29772856917,1.66939752331,-3.21907521786}

{-2.56059412523,0.860380528937,-3.74480632998}

{-1.19085177735,0.865204460798,-5.13176093620}

{-0.735986873968,2.26513468559,-4.22203112943}

{- 1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149}

{-2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149}

{-2.38170355471 ,0,-4.22203112943 }

Coordonnées des centres des cavités :

{ 1.48740651972,0,-0.803016969630}

{0.459633892138, 1.41460766296,-0.803016969630}

{-1.20333715200,0.874275616456,-0.803016969630}

{-1.20333715200,-0.874275616456,-0.803016969630}

{0.459633892138,-1.41460766296,-0.803016969630}

{2.40667430400,0,-2.29042348935}

{ 1.94704041186,1.41460766296,-3.20969127363}

{0.743703259861 ,2.28888327942,-2.29042348935}

{0.459633892138, 1.41460766296,-0.803016969630}

{ 1.48740651972,0,-0.803016969630}

{-1.48740651972,0,-4.69709779335 }

{-0.459633892138,-1.41460766296,-4.69709779335}

{1.20333715200,-0.874275616456,-4.69709779335}

{ 1.20333715200,0.874275616456,-4.69709779335}

{-0.459633892138,1.41460766296,-4.69709779335}

{-2.40667430400,0,-3.2096 127363 }

{.1.94704041186,- 1.41460766296,-2.29042348935 }

{-0.743703259861,-2.28888327942,-3.20969127363}

{-0.459633892138,-1.41460766296,-4.69709779335}

{- 1.48740651972,0,-4.69709779335 }

DESCRIPTIF

fig 1 , fig 5 antiprismes AP3 et AP4

fig 2 , fig 6 ceintures toriques T3 et T4

fig 3 , fig 7 atomes A3 (icosaèdre) et A4

fig 4 , fig 8 molécules M3 et M4

fig 9 , fig 13 antiprismes Afi5 et Af>6

fig 10 , fig 14 ceintures toriques T5 et T6

fig 11 , fig 15 atomes A5 et A6

fig 12 molécule M5

fig 16 , fig 17 cristal d'ordre 5 composé de l'atome A5 avec les 2 pyramides régulièresS 5 fig 18 construction tubulaire du cristal d'ordre 5

(les tubes sont reliés entre eux par des boules percées) fig 19 à 22 cristal d'ordre 5

fig 23 à 31 décomposition du cristal d'ordre 5 en tétraèdres

fig 32 à 40 molécule M5 à partir du cristal d'ordre 5

fig.34.fig.35 molécule M5 sans les pyramides polaires

fig 41 , fig 42 molécule M5 à partir du cristal d'ordre 5 et l'icosaèdre circonscrit fig 43 vue interne de la molécule M5 et de l'icosaèdre circonscrit montrant la géode fig 44 vue interne de la molécule M5 montrant la géode et la structure interatomique

(permettant de combler le vide entre chaque atome), au centre la sphère fictive inscrite dans la géode

fig 45 pavage de molécules M5

fig 46 tore de 6 molécules M5 , il y a un atome A5 en commun entre chaque

molécule

fig 47 tripode de 4 molécules M5 , il y a un atome A5 en commun entre chaque molécule

fig 48 arborescence à 3 ramifications de molécules M5 assemblées en tripode

fig 49 à 51 macromolécule de niveau 1 MM5 formée de 20 molécules M5

fig 52 macromolécule de niveau 2

fig 53 macromolécule MM5 inscrite dans l'icosaèdre

fîg 54 macromolécule MM5 inscrite dans l'icosaèdre et entourée des 20 molécules 5"

M5 de liaison entre les les branches de l'arborescence de niveau 2

fig 55 macromolécule de niveau 2, séparée de 3 macro molécules MM5 permettant de voir la macromolécule centrale MM5 inscrite dans l'icosaèdre

fig 56 macromolécule de niveau 2 inscrite dans l'icosaèdre

fig 57 macromolécule de niveau 2 entourée de 20 macromolécules de niveau 1 fig 58 macromolécule de niveau 2 entourée de 20 macromolécules de niveau 1

inscrite dans l'icosaèdre

fig 59 tripode formé de molécules M5

fig 60 simple hélice formée de molécules M5

fig 61 double hélice formée de molécules M5

fig 62 , fig 63 géode d'ordre 5

fig 64 pavage d'atomes d'ordre 6, liaisons par points

fig 65 couronne d'atomes A6

fig 66 arborescence d'atomes A6

fig 67 molécule M3 avec 2 cavités rentrées

fig 68 molécules M3 (cavités normales)

fig 69 tétrapode formé de 5 molécules M3

fig 70 , fig 71 molécule M'3 avec 8 demi-coques C3

fig 72 , fig 72' arborescence de molécules M3

fig 73 , fig 73' couronne de 6 molécules M3

fig 74 atome A4 avec les 2 pyramides régulièresS

fig 75 molécule M4 formée de 6 atomes A4

fig 76 molécule M4 formée des 6 atomes A4 et de leurs pyramides SA

fig 77 molécule M4 avec cavité

fig 78 molécule M4 entourée de 4 autres molécules M4

fig 79 macromolécule MM4 formée de 7 molécules M4

fig 80 , fig 81 macromolécule formée de 15 molécules M4

fig 82 , fig 84 pyramide (empilement télescopique sorti) de couronnes Tn d'ordre 3 à 15 fïg 83 , fig 85 disque (empilement télescopique rentré) de couronnes Tn d'ordre 3 à 15 fig 86 , fig 87 atome A5 avec ses 2 pyramides régulières 5-5 (cristal d'ordre 5) fig 88 , fig 89 polyèdre construit à partir du dual du cristal d'ordre 5

fig 90 , fig 91 polyèdre dual du cristal d'ordre 5, ses 22 surfaces sont incurvées fig.92 développement du polyèdre A5-( atome d'ordre 5 )

fig.93. Développement du polyèdre M4 (molécule d'ordre 4 )

fig.94. Composition artistique issue de la nouvelle famille de polyèdres

An atome et son n° d'ordre

Mn molécule et son n° d'ordre

Tn ceinture torique et son n° d'ordre

APn antiprisme et son n° d'ordre

Pn polygone du sommet et son n°d'ordre

Vn cavité à six faces et son n° d'ordre

En face branche étoilée, du polygone polaire et son n° d'ordre

MMn macromolécule et son n°d'ordre

Sn pyramide au sommet d'un pôle et son n°d'ordre

Fn étoile à trois branches au centre des cavités et son n°d'ordre

Cn demi-coque et son n° d'ordre

C'n demi-coques ajustées et son n° d'ordre

Yn cavité atomique dans une molécule et son n° d'ordre

In face du polyèdre circonscrit à une macromolécule et son n°de rang

Xn molécule de jonction entre branches

1 arête des polygones polaires

2 arête des branches étoilées issues des pôles

3 arête équatoriale du tore

5 sommet de la ceinture torique équatoriale et sommet de la branche étoilée du tore

6 sommet des cavités à six faces

7 partie interne de la géode

8 sphère interne de la géode